波函数的四元数表达

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波函数的四元数表达》

我们知道，实数域上的可除代数系有而且只有三种：实数域、复数域、四元数，其中四元数运算规则由哈密顿所定义（1843年）。
波函数Ψ（x，y，z，t）的数学含义为：
设M是全体有序实数对（x，y，z，t）的集合，N是全体复数z的集合，Ψ是这样一个“映射”---------它将M中的某一个元素映射成N中的一个元素。
/ {/ R- e' E/ X9 o笔者认为，为了更加直观的表现有序实数对（x，y，z，t）中时间t的特殊性，应该将时空中的任意一个点p（x，y，z，t）写成四元数来表现其时空禀性，即p=t+xi+yj+zk.
; \7 o7 g6 [$ _7 M# W- y: b' y同时,我们将在p点处的波函数Ψ定义为:
2 r3 Z, U1 k" V  K3 r4 r7 M（一）Ψ是一个在四元数域上的映射,它将四元数p=t+xi+yj+zk映射为另一个四元数q=t+iψx+jψy+kψz，其中ψx、ψy、ψz分别为Ψ（p）在x、y、z轴上的分量且它们都是x，y，z，t的(实)可微函数。
3 @, q/ _/ ]* X, p( b, \8 c' ]（二）Ψ满足薛定谔方程
% i! A8 H5 }7 q0 o- _# g（注意Ψ不改变四元数的时间t故它是“定态”下的波函数）
      H~Ψ（p）= hI*o/ot（Ψ（p））           （1）
其中o/ot为对时间t的偏微分符号。
    我们先来看（1）的右边，易知
) H: v: z1 Z8 s/ b( m* x3 v3 @# Qo/ot（Ψ（p））= o/ot（t+iψx+jψy+kψz）=1+ o/ot（ iψx+jψy+kψz）
令V= o/ot（ iψx+jψy+kψz），显然V是一个实部为0的四元数，
3 o: p- W5 ~2 t! Y4 w, S则（1）的右边为：
, R  L; l& `7 |& T" zhI*o/ot（Ψ（p））=（1+V）*hI                     （2）
" P7 o* a+ I& {0 F) n& E注意虚数I的含义为“矢量与I相乘则方向转动90度而保持矢量模不变”，对于四元数，由于时间维与空间三维正交，故将I与四元数p=t+xi+yj+zk相乘的效果定义为：
p的虚部xi+yj+zk保持模不变，方向转动至与时间维重合（即变成了一个实数）；
6 |! ?1 k  y! Y1 o# f4 kp的实部保持模（实数值的绝对值）不变，方向转动至与时间维正交（即变成了一个矢量）；
故则（1）的右边即为hI*o/ot（Ψ（p））=vh+hI，         （3）
v为V的模，称其为Ψ在p处的“时空曲率”。
  O2 N5 g5 u8 Q0 k0 W4 b% t- w# `下面我们来看我们来看（1）的左边，
; O4 B/ A/ \! R6 k9 {3 i令∨=（o/ox）i+（o/oy）j+（o/oz）k
易知（1）的左边为
5 k: n  i6 |) d! }1 T∨*（t+iψx+jψy+kψz）=0+∨*（ iψx+jψy+kψz），
显然∨*（ iψx+jψy+kψz）=Ψ散度+Ψ旋度             （4）
0 [  N5 Z* Z4 W" J# h+ s. F% T其中，Ψ散度=（oψx/ox）+（oψy/oy）+（oψz/oz），称为波矢，它的模平方表示在p处测量到Ψ质量（密度）的几率（薛定鄂表述为测到粒子的几率）；
        i       j       k
而Ψ旋度=   o/ox     o/oy     o/oz     
; [( D9 U$ U  A3 C2 w  Y        ψx         ψy         ψz
0 h) d+ E& g0 f' k' [1 s+ K称位态矢，它的模平方表示在p处测到Ψ能量的几率。
4 E/ P1 m9 l+ |$ @# C- g) ^  \比较（3）与（4），容易知道：
0 p) ]* I/ ~6 ]/ P/ X' ^/ U1、     一普朗克单位h等于Ψ旋度的模；
; J2 Q3 G- q6 {) ?# O2、     时空曲率v等于Ψ散度与Ψ旋度（模）之比；
3、     Ψ旋度表示三维空间中的一个光子，其矢量方向可以是三维空间中任意方向并与时间正交，其矢量模恒等于h；
由上述结论，可以做出合理推论：
位于p处的Ψ在H~作用下，产生几率能量h和几率质量（密度）vh，
3 e/ N% ]" p' J: _( K此两几率之比是1/v2，故有：
& ]$ h8 D! j/ y5 {如果v=0， 则在p处只存在光子（测地线），没有静质量；
如果v=∞，则在p处只存在电子，其质量密度与v2成正比(无穷大)，而其体积与v2成反比(无穷小),所以电子质量为常数me，且mec2=h.