波函数的四元数表达

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波函数的四元数表达》

  P: Z% c0 G: L  f+ C* h: W! d我们知道，实数域上的可除代数系有而且只有三种：实数域、复数域、四元数，其中四元数运算规则由哈密顿所定义（1843年）。
波函数Ψ（x，y，z，t）的数学含义为：
% M& n  D! P, H$ g- y设M是全体有序实数对（x，y，z，t）的集合，N是全体复数z的集合，Ψ是这样一个“映射”---------它将M中的某一个元素映射成N中的一个元素。
笔者认为，为了更加直观的表现有序实数对（x，y，z，t）中时间t的特殊性，应该将时空中的任意一个点p（x，y，z，t）写成四元数来表现其时空禀性，即p=t+xi+yj+zk.
" e* u4 O7 Q2 \同时,我们将在p点处的波函数Ψ定义为:
! T2 P* {0 t. i, z+ M1 i4 _（一）Ψ是一个在四元数域上的映射,它将四元数p=t+xi+yj+zk映射为另一个四元数q=t+iψx+jψy+kψz，其中ψx、ψy、ψz分别为Ψ（p）在x、y、z轴上的分量且它们都是x，y，z，t的(实)可微函数。
（二）Ψ满足薛定谔方程
. ?6 t- G" |5 ?5 L（注意Ψ不改变四元数的时间t故它是“定态”下的波函数）
      H~Ψ（p）= hI*o/ot（Ψ（p））           （1）
3 h& z4 y2 R) l4 b, m+ b' j# D其中o/ot为对时间t的偏微分符号。
    我们先来看（1）的右边，易知
o/ot（Ψ（p））= o/ot（t+iψx+jψy+kψz）=1+ o/ot（ iψx+jψy+kψz）
) ]" U6 x" m7 t# X7 k令V= o/ot（ iψx+jψy+kψz），显然V是一个实部为0的四元数，
则（1）的右边为：
& Y6 O) v7 f! n0 F' ThI*o/ot（Ψ（p））=（1+V）*hI                     （2）
注意虚数I的含义为“矢量与I相乘则方向转动90度而保持矢量模不变”，对于四元数，由于时间维与空间三维正交，故将I与四元数p=t+xi+yj+zk相乘的效果定义为：
p的虚部xi+yj+zk保持模不变，方向转动至与时间维重合（即变成了一个实数）；
p的实部保持模（实数值的绝对值）不变，方向转动至与时间维正交（即变成了一个矢量）；
. u& M0 ?- }  Q2 L. a1 }故则（1）的右边即为hI*o/ot（Ψ（p））=vh+hI，         （3）
v为V的模，称其为Ψ在p处的“时空曲率”。
下面我们来看我们来看（1）的左边，
8 S! R2 S! m, ]/ O! ?+ Y6 X令∨=（o/ox）i+（o/oy）j+（o/oz）k
易知（1）的左边为
∨*（t+iψx+jψy+kψz）=0+∨*（ iψx+jψy+kψz），
显然∨*（ iψx+jψy+kψz）=Ψ散度+Ψ旋度             （4）
其中，Ψ散度=（oψx/ox）+（oψy/oy）+（oψz/oz），称为波矢，它的模平方表示在p处测量到Ψ质量（密度）的几率（薛定鄂表述为测到粒子的几率）；
        i       j       k
而Ψ旋度=   o/ox     o/oy     o/oz     
5 t8 g9 J6 p1 ^+ }( x1 \+ X        ψx         ψy         ψz
, h0 `# E* r9 s' x( o5 O: y& u称位态矢，它的模平方表示在p处测到Ψ能量的几率。
! M, p1 `! }0 N) E: F比较（3）与（4），容易知道：
5 B& H; P  ?! ?& T. b# @1、     一普朗克单位h等于Ψ旋度的模；
* h7 l- P( Z: J: B5 P4 Y2、     时空曲率v等于Ψ散度与Ψ旋度（模）之比；
3、     Ψ旋度表示三维空间中的一个光子，其矢量方向可以是三维空间中任意方向并与时间正交，其矢量模恒等于h；
由上述结论，可以做出合理推论：
位于p处的Ψ在H~作用下，产生几率能量h和几率质量（密度）vh，
此两几率之比是1/v2，故有：
如果v=0， 则在p处只存在光子（测地线），没有静质量；
3 A' r0 k# b/ J! m+ s7 U- x' [如果v=∞，则在p处只存在电子，其质量密度与v2成正比(无穷大)，而其体积与v2成反比(无穷小),所以电子质量为常数me，且mec2=h.