波函数的四元数表达

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波函数的四元数表达》

我们知道，实数域上的可除代数系有而且只有三种：实数域、复数域、四元数，其中四元数运算规则由哈密顿所定义（1843年）。
波函数Ψ（x，y，z，t）的数学含义为：
设M是全体有序实数对（x，y，z，t）的集合，N是全体复数z的集合，Ψ是这样一个“映射”---------它将M中的某一个元素映射成N中的一个元素。
* d- ~. v- n6 @1 F笔者认为，为了更加直观的表现有序实数对（x，y，z，t）中时间t的特殊性，应该将时空中的任意一个点p（x，y，z，t）写成四元数来表现其时空禀性，即p=t+xi+yj+zk.
同时,我们将在p点处的波函数Ψ定义为:
（一）Ψ是一个在四元数域上的映射,它将四元数p=t+xi+yj+zk映射为另一个四元数q=t+iψx+jψy+kψz，其中ψx、ψy、ψz分别为Ψ（p）在x、y、z轴上的分量且它们都是x，y，z，t的(实)可微函数。
（二）Ψ满足薛定谔方程
（注意Ψ不改变四元数的时间t故它是“定态”下的波函数）
      H~Ψ（p）= hI*o/ot（Ψ（p））           （1）
" S2 i5 T" k$ K0 j: P1 o其中o/ot为对时间t的偏微分符号。
    我们先来看（1）的右边，易知
o/ot（Ψ（p））= o/ot（t+iψx+jψy+kψz）=1+ o/ot（ iψx+jψy+kψz）
1 a( D$ H! G% v- Z; `* N5 o/ k/ X令V= o/ot（ iψx+jψy+kψz），显然V是一个实部为0的四元数，
( A/ C& a* w; f0 H; ]则（1）的右边为：
5 V4 X# H$ W& U# P3 [hI*o/ot（Ψ（p））=（1+V）*hI                     （2）
) H' r" b% M3 b! I, p注意虚数I的含义为“矢量与I相乘则方向转动90度而保持矢量模不变”，对于四元数，由于时间维与空间三维正交，故将I与四元数p=t+xi+yj+zk相乘的效果定义为：
p的虚部xi+yj+zk保持模不变，方向转动至与时间维重合（即变成了一个实数）；
p的实部保持模（实数值的绝对值）不变，方向转动至与时间维正交（即变成了一个矢量）；
& J# |; u% y$ [- d故则（1）的右边即为hI*o/ot（Ψ（p））=vh+hI，         （3）
v为V的模，称其为Ψ在p处的“时空曲率”。
下面我们来看我们来看（1）的左边，
3 Z) r, F' D$ h8 q+ T6 B令∨=（o/ox）i+（o/oy）j+（o/oz）k
易知（1）的左边为
  \) N1 t& z4 F& B# V7 k∨*（t+iψx+jψy+kψz）=0+∨*（ iψx+jψy+kψz），
显然∨*（ iψx+jψy+kψz）=Ψ散度+Ψ旋度             （4）
8 g# c' T/ K, @/ y, a+ ^3 G其中，Ψ散度=（oψx/ox）+（oψy/oy）+（oψz/oz），称为波矢，它的模平方表示在p处测量到Ψ质量（密度）的几率（薛定鄂表述为测到粒子的几率）；
- m1 C9 j! w# y) l" o: N: M* o        i       j       k
# l6 J/ m" f5 a+ c0 _而Ψ旋度=   o/ox     o/oy     o/oz     
7 Q  Q0 S, r+ P8 U0 Q        ψx         ψy         ψz
' `, j$ A$ L0 X5 `称位态矢，它的模平方表示在p处测到Ψ能量的几率。
比较（3）与（4），容易知道：
/ C. x% a  u1 x6 B# P/ J  W# e" v1、     一普朗克单位h等于Ψ旋度的模；
2、     时空曲率v等于Ψ散度与Ψ旋度（模）之比；
3、     Ψ旋度表示三维空间中的一个光子，其矢量方向可以是三维空间中任意方向并与时间正交，其矢量模恒等于h；
由上述结论，可以做出合理推论：
位于p处的Ψ在H~作用下，产生几率能量h和几率质量（密度）vh，
此两几率之比是1/v2，故有：
3 Y1 z. F! ]$ ], L- H% k9 O4 d如果v=0， 则在p处只存在光子（测地线），没有静质量；
3 c8 a) Z, D0 I& P如果v=∞，则在p处只存在电子，其质量密度与v2成正比(无穷大)，而其体积与v2成反比(无穷小),所以电子质量为常数me，且mec2=h.