光栅衍射

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光栅衍射
0 h/ ~  i& c0 @2 f% l4.1 光栅
9 b# G0 s0 H. k
( @4 f4 N) ^! E) S- \; N+ Y) f6 D0 @
  `. u4 \2 c# C; F
" v" z& c& F( q# D- M
, I+ `, s* F! s

- [9 v; @5 x* Y- t+ h, {" m   
9 _* T1 s3 R# J1 I
" P7 E; G  a1 x& z2 C6 i5 d4 p

( K9 G* `" `9 F& a  O8 Z    光栅是由大量等宽等间距的平行狭缝所组成的光学器材。用金刚石尖端在玻璃板或金属板上，刻划等间距的平行细槽就制成了一个光栅。
. X$ X3 J  u: N. I$ t. E1 L+ G  O    光栅上每个狭缝的宽度a和相邻两缝间不透光部分的宽度b之和称为光栅常数（如右图）

/ P6 h8 n  H- K- o: j
; D( C$ o4 @$ c' Z* X9 ?) G
5 N7 e) i. X3 p) n, Q; b$ B# [1 ]d就是相邻两缝对应点之间的距离，它是表征光栅性能的一个重要常数。
/ r8 u8 h! c" t5 ~+ p    精制的光栅，在1cm内的刻痕可以达到一万多条以上。如在1英寸宽度上分布有12000条缝的光栅，它的光栅常数
. h7 L4 |5 r& M1 H7 c, }  u7 m; M
* d4 G2 v6 [: j; b
4 ^" n% \2 w" h* x4 E  Y+ H) g, @
& j; O) _4 x- w; ]! A

7 B% o3 A3 a1 _
. Y) X  K1 k# q$ A
+ _7 D2 l% }/ G5 w
" U, N, [1 G8 c  J) U

: d. B% {0 D! q1 r/ I' t4 H

    另外，还有全息光栅，它是用单色激光的双光束干涉花样来代替刀刻痕，充分利用了单色光双束干涉条纹具有等宽等间距的特点。
2 L+ `6 D6 n# V4 g  W    上面介绍的光栅是利用透射光衍射，称为透射光栅。还有利用两刻痕间的反射光衍射的光栅，称为反射光栅。

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光栅衍射

6 R" t' O0 v- U+ |8 n5 O$ s6 M
4 s% [: \: ~0 U


' |) f$ a) h7 C8 T8 h& J, A7 ?0 l
   
    一束平行单色光垂直照射在光栅上，光栅常数为d，光栅的总缝数为N。通过每一狭缝向不同方向发射的光通过透镜聚集在屏幕上不同的位置，屏幕放在透镜的焦平面内。
    显然通过光栅不同缝的光要发生干涉，而每个缝又都有衍射。所以在屏上出现的应是同一单缝衍射因子调制下的N个缝 的干涉条纹， 称为光栅衍射条纹。光栅衍射是衍射和干涉的综合结果。
7 n& D2 }8 I- i" t% L1 }3 B(1) 明条纹和暗条纹
4 A" {" ?# k/ R6 J# V    由于沿
. f4 H) I5 \% }$ E8 i. W( j
" ?( n" q) s7 z+ c1 R: ^方向发射的两束相邻光束间的光程差都等于
6 M- q+ ^$ j2 t" _/ h
，故当



$ s2 E' W! o8 ~* N$ [时，N束光干涉加强，在屏上出现明条纹。上式称为光栅方程，满足光栅方程的明纹称为主极大。这相当于N量沿同一方向排列，如下图所示。
8 t0 b0 `+ j- G- x9 l
* Y/ b2 ^. }6 a6 |0 T5 j  Z
. P& @; ]- V  ^
3 {( q/ O. ?7 T( @1 ^5 p    如果从N个缝发出的光束的相位差之和是

6 K  J2 ~) |6 m) a& ^' ~0 U的整数倍，即光程差满足
; X' \: L$ w8 z3 Q; x3 `# R


9 {9 d7 D' S7 a) e
时，N束光干涉相消，在屏上出现暗条纹，这是暗纹方程。这相当于N个振动矢量首尾连接成一个闭合的多边形，如右图所示。
3 C* V: A# z! r! b3 u3 {        (18.4.3)式可以写成


6 A) E& ~: Q( p6 q8 y4 u8 ~1 M
将上式与(18.4.3)式比较可以看到，对k'的取值有限制：
  q/ w: [" L$ _+ S+ g2 |
0 Q# [6 S( B$ G$ q。

属于出现主极大的情况。

5 c% O; J, \0 m6 K: f
7 }6 a/ o/ Y* ~- ]  |9 |9 C. z
(18.4.2)式和(18.4.3)式中的k与k'应分别取如下值：
/ ^5 o7 N& T% r0 y/ F" x: B/ E

8 Q5 Q* S! C5 ?) s- T' Z5 h3 M
    在相邻两主极大明条纹之间，有
8 ?: p: i, ~5 O' {
个暗条纹，其它地方光强部分抵消，实际光强很小，当N很大时，在明条纹之间实际上是一暗区，明条纹尖锐明亮。
(2) 缺极现象
6 O1 j$ W3 J7 I$ u9 b    多光束干涉图样受单缝衍射的调制，衍射条纹以单缝衍射光强分布曲线为包络线，在满足单缝衍射极小、多缝干涉极大条件
+ t. Z& z( h' c& u+ Y9 a, Z


4 |$ S  u& s( M* s时，k 级主极大的位置正好是k' 级衍射极小，k 级主极大不会出现。这个现象称为缺极。k 和k' 的关系为
+ j/ E9 s* u7 X) j- P' B! J
+ g# K- J, H6 m+ C. Q

8 b7 v* ^' I6 U2 u: i(3) 光栅衍射的强度分布
: p6 _' N& b' z8 |$ S    光栅衍射的光强分布公式为

% ~5 q  l) j! I, n  S

' G( L: O8 u1 I

9 C& I  ?5 a8 R, ~
0 C3 Q+ T2 Y. l0 _- O; A


上式的前一部分与单缝衍射的光强分布公式(18.2.4)式相同，表示单缝衍射的光强分布，它来源于单缝衍射，是整个衍射花样的轮廓，称为单缝衍射因子。后一部分表示多光束干涉光强，它来源于缝间干涉，称为缝间干涉因子。
+ x5 U/ J- Y, I  X3 A, u+ ~    请改变缝数、缝宽、光栅常数、波长等参量，观察单缝衍射因子、缝间干涉因子及合成的衍射光强分布。在某些条件下，会出现缺级现象。
    由于N很大，明条纹细锐，衍射角

' ~* I2 X* C2 Q, m. `7 y/ C, {可以精确测定，从而按(18.4.2)式定出单色波长l 。

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衍射光谱

2 H8 y, y2 \2 `9 J7 g" [! a
. t- L# C( [9 ?0 X% B1 Y/ [
& I! ]" J1 p  j2 B: _8 P


* r3 }2 d2 u. M# Z; d          
* b, w0 F) r+ f9 ^1 Q6 L0 F    当垂直入射光为白光时，则形成光栅光谱。中央零级明条纹仍为白光，其它主极大则由各种颜色的条纹组成。由光栅方程可知，不同波长由短到长的次序自中央向外侧依次分开排列。
    光栅常数d 越小，或光谱级次越高，则同一级衍射光谱中的各色谱线分散得越开。
    光盘的凹槽形成一个衍射光栅，在白光下能观察到入射光被分离成彩色光谱，如下图所示：
+ y; n- _" d& z; K0 A
8 `# l, ?' w% O' j
$ ~* K8 H* m( H) b3 {5 A& D. G

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光栅的衍射本领
3 J( J7 d8 B; L$ m
4 ^* \9 a- o' {7 O


* ~$ M' F: M# R; s! r# `2 A

! K) n- ]/ a) `: J" |7 z          
    光栅分辨光谱中两相近谱线（波长）的本领，称为光栅的分辨本领。定义恰能分辨的两条谱线的平均波长λ与它们的波长差Δλ之比为光栅的分辨本领
                        

/ B4 _5 W( ~/ ?" K
    根据瑞利判据，波长为

的第k级谱线，能与波长为

的第k级谱线分辨清楚的极限是：
9 ?2 Q2 U% }) e0 |( O3 L


5 W3 m# X8 L- L# j7 u由此可得
  Z+ x! d4 U" M6 t) r$ ~/ }* C                        
2 e4 R4 _6 }  v' \
4 ]+ x4 w/ f4 b9 u4 P
级次一定时，要提高分辨本领，光栅得缝数N 须越大。
# B9 L: I2 r. I7 V6 Q+ Z, x- W    例如，要分辨500nm和500.01nm这两条谱线，分辨本领至少为50000。
    在实验上，用光栅分光镜观察光栅光谱，测定光谱中各谱线的波长及相对强度，可以确定发光物质的成分及含量。光栅对于近代物理的知识贡献很大，几乎没有别的仪器能赶上它。