光纤的射线光学知识
---- 光波长很短，但相对光纤的几何尺寸要大得多，因此从射线光学理论的观点出发，研 究光纤中的光射线，可以直观认识光在光纤中的传播机理和一些必要的概念。本节用射线 光学理论对阶跃型及渐变型多模光纤的传输特性进行分析。---- 射线光学的基本关系式是有关其反射和折射的菲涅耳（Fresnel)定律。 首先，我们来看光在分层介质中的传播，如图2-3所示。图中介质1的折射率为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/da45a2b5cc8fd65a9ab8a53802734fbd.gif,介质2的 折射率为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/3c0dde0d0c3620197559ae7c9ea3255c.gif，设 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/1440f49e4924203339122e6ffc57624f.gif 。当光线以较小的 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/e1c93eba3167a4f1143149863762a5ae.gif角入射到介质界面时，部分光进入介质2并 产生折射，部分光被反射。它们之间的相对强度取决于两种介质的折射率。 图2-3---- 由菲涅耳定律可知 反射定律 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/cc2a018060e55b85d4057482c88bc1f7.gif (2-1) 折射定律 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/ef7da85befec56d38cb9c30b606747df.gif (2-2) 在 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/1440f49e4924203339122e6ffc57624f.gif时，逐渐增大 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/e1c93eba3167a4f1143149863762a5ae.gif，进入介质2的折射光线进一步趋向界面，直到 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/3f88dcc0499c5e407530cfe0f1ccfe92.gif趋于 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/0f7b24c135bfba3a93a5220d45a0c29b.gif。此 时，进入介质2的光强显著减小并趋于零，而反射光强接近于入射光强。当 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/56b43ebfa95ec7e1048b3c887019b76f.gif 极限 值时，相应的 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/e1c93eba3167a4f1143149863762a5ae.gif角定义为临界角 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/b9a677b9f639cf9f0c56315b5d8f7513.gif 。由于 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/df00ecc149b9629229979b29a56aa4c5.gif,所以临界角 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/56e4531450e2f0c102a2e02c2c3dffd2.gif （2-3） 当 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/acb78983d478962ed6c301bf9d86785f.gif时，入射光线将产生全反射。应当注意，只有当光线从折射率大的介质进入折射率小的介质，即 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/1440f49e4924203339122e6ffc57624f.gif时，在界面上才能产生全反射。2．2．1 阶跃型光纤中的射线光学分析 ---- 全反射现象是光纤传输的基础。光纤的导光特性基于光射线在纤芯和包层界面上的全 反射，使光线限制在纤芯中传输。光纤中有两种光线，即子午光线和斜射光线。子午光线 是位于子午面(过光纤轴线的平面)上的光线，而斜射光线是不经过光纤轴线传输的光线。 ---- 图2--5 所示阶跃型的光纤，纤芯折射率为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/f270563c7efc41403f9558b2370f4fd7.gif ，包层的折射率为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/00c9fa9b72084b6bf3ad92632b5efc1a.gif，且 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/fe68271cba0355912fb980bb0886eebf.gif，空 气折射率为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/7abf3352f2683ae125c12a4e1cddc0c1.gif。在光纤内传输的子午光线，简称内光线，遇到纤芯与包层的分界面的入射 角大于 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/60068df6418b8a12575ac88694208d85.gif时，才能保证光线在纤芯内产生多次全反射，使光线沿光纤传输。 图 2-5--- 然而，内光线的入射角大小又取决于从空气中入射的光线进入纤芯中所产生折射角 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/eac19bfe4e5c7efd32284af245dfa695.gif， 因此， 空气和纤芯界面上入射光的入射角 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/1be27933f70ac740e1606e46f238a23d.gif就限定了光能否在光纤中以全反射形式传输。 --- 与内光线入射角的临界角 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/60068df6418b8a12575ac88694208d85.gif相对应， 光纤入射光的入射角 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/a20cf245c6b2379f2d5bb76f00e28a34.gif有一个最大值 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/97a70cb78800706a0c0636b1c1a4efd1.gif。 如 图2-6所示： 图2-6---当光线以入射到纤芯端面上时，内光线将以小于的入射角投射到纤芯和包层界面上。 这样的光线在包层中折射角小于90度， 该光线将射入包层，很快就会漏出光纤。如图2-7所示： 图2-7--- 当光线以 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/a82939fd0564713d30d5f127288058c1.gif入射到纤芯端面上时，入射光线在光纤内将以大于 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/60068df6418b8a12575ac88694208d85.gif的入射角投射 到纤芯和包层界面上。这样的光线在包层中折射角大于90度，该光线将在纤芯和包层界面 产生多次全反射， 使光线沿光纤传输。如图2-8所示： 图2-8---- 由上面分析可知，当光线从空气入射到纤芯端面上的入射角 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/a82939fd0564713d30d5f127288058c1.gif时，进入纤芯的 光线将会在芯包界面间产生全反射而向前传播，而入射角 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/40c3a4d9ba678d2bf4672fd3014822bb.gif的光线将进入包层损失 掉。因此，入射角最大值 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/97a70cb78800706a0c0636b1c1a4efd1.gif确定了光纤的接收锥半角。 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/97a70cb78800706a0c0636b1c1a4efd1.gif是个很重要的参数，它与光 纤的折射率有关。下面讨论 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/97a70cb78800706a0c0636b1c1a4efd1.gif的确定： ---- 由菲涅耳定律，对于内光线，有 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/8d9416cace10f73d684f1b23b21df987.gif 因为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/b1cb5cd1913dcdab02e28b717bf850cc.gif http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/9554be292b93419f888933cd516e2494.gif 所以 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/d5e7df086a7744b58051bbb16f482485.gif 即 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/3ce8391e44faf0f34044cf07e5bcb77f.gif ---- 对于空气和纤芯界面，有 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/2c37c0d55a4474468c638ee48daca74b.gif 由（2-5）式代入（2-6）式得 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/2d25772b10ac528bed86b4fe37ae9554.gif 即 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/18a6bd28be9c1773de54215657304ae5.gif http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/51178772a1a15bcd0fd579927f79d57d.gif定义为光纤的数值孔径，用NA表示。它的平方是光纤端面集光能力的量度。在 空气中的折射率 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/70eacd53b00611303933e2d198b73dce.gif，因此，对于一根光纤，其数值孔径为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/8b37d40dcab2f29ea655933610b9c529.gif 纤芯和包层的相对折射率差 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/21e2275769417e66e9732ddf66df53b0.gif，定义为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/d7268513c4ac91f93c6d88d516a2abce.gif 则光纤的数值孔径 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/b22f9f8c0bbc39ed5e95a1ddcdd13f72.gif可以表示为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/8a6419232f69cea82c5d3203ca83f61a.gif ---- NA是表示光纤波导特性的重要参数，它反映光纤与光源或探测器等元件耦合时的耦合 效率。应注意，光纤的数值孔径 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/b22f9f8c0bbc39ed5e95a1ddcdd13f72.gif仅决定于光纤的折射率，而与光纤的几何尺寸无关。 ---- 在多模阶跃折射率光纤中，满足全反射、 但入射角不同的光线的传输路径是不同的， 结果使不同的光线所携带的能量到达终端的时间不同，如图2-9所示，从而产生了脉冲展 宽，这就限制了光纤的传输容量。 图2-9--- 如图2-10所示，设光纤的长度为 L ，光纤中平行轴线的入射光线的传输路径最短，为 L ；以临界角入射到纤芯和包层界面上的光线的传输路径最长，为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/f828b33c5a0e392c76e7d61a36de5845.gif 。 图2-10因此，最大时延差为： http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/7dcd99d6506d14ea07a3cc19df474432.gif 因为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/28f5b8c8bae39277e33597dc94d98923.gif 单位长度光纤的最大群时延差为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/40ada6301620c37757a3c32e484918fd.gif ---- 群时延差限制了光纤的传输带宽。为了减少多模阶跃折射率光纤的脉冲展宽，人们制造了渐变折射率光纤。2．2．2 渐变型光纤中的射线光学分析 ---- 渐变折射率光纤的折射率在纤芯中连续变化。适当选择折射率的分布形式，可以使不 同入射角的光线有大致相同的光程，从而大大减小群时延差。 ---- 光学特性决定于它的折射率分布。渐变型光纤的折射率分布可以表示为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/35d73a2ac2efb85cd69c6fd4fb7ed495.gif 式中：g是折射率变化的参数；a是纤芯半径；r是光纤中任意一点到轴心的距离； http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/b21d7e72954cae8e5e16f04c9cfe6f60.gif是渐变 折射率光纤的相对折射率差，即 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/97b274e69edc974573bb7d9ed57ce54a.gif ---- 阶跃折射率光纤也可以认为是 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/3660c7b5efc0b36eb576eaa0700f087c.gif 的特殊情况。使群时延差减至最小的最佳的g在 2 左右， 称为抛物线分布。下面用射线光学理论分析渐变折射率光纤中子午光线的传输性质。---- 光线在介质中的传输轨迹应该用射线方程表示： http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/85bce18b1e75842fac98bf20fddc7c95.gif 式中： http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/8d00fd97b96e3860443e995abd558d5b.gif是轨迹上某一点的位置矢量；s为射线的传输轨迹；ds是沿轨迹的距离单元， http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/14b186d6839516db7a80d4b656a0fd25.gif表示折射率的梯度。 ---- 将射线方程应用到光纤的圆柱坐标中，讨论平方律分布的光纤中的近轴子午光线，即 和光纤轴线夹角很小，可近似认为平行于光纤轴线(z轴)的子午光线。由于光纤中的折射率 仅以径向变化，沿圆周方向和z轴方向是不变的。因此，对于近轴子午光线，射线方程可简 化为： http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/741d32292538abf0c446b0f6179f0a7e.gif 式中，r是射线离开轴线的径向距离。对平方律分布，有 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/993c931bb5609f41a8cc3833962985ee.gif 将式（2-17）代入式(2-16),得 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/6c0180c2e4a1d4a6b4e01bd36dab4198.gif 对近轴光线， http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/9cc9974c8d6252a38bac4bcbd72391cc.gif，因此上式可近似为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/293cb241e28af301a5420948681ef4d2.gif 设 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/eecbd4901b4299ba9908cf691569047c.gif时， http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/1737697320e4cd920911a9944ecf1f10.gif， http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/aa28577716aaacdd62978dcf2917c093.gif上式的解为 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/694ce57acec80f1be37eb06505771ac8.gif 这就是平方律分布的光纤中近轴子午光线的传输轨迹。 图2-11显示了当 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/6355cc4a0b89d408197287a5123fedba.gif和 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/818b3040177411c381376c8d6ce4e50a.gif时这些光线的轨迹。可以看出，从光纤端面上同一点发出的 近轴子午光线经过适当的距离后又重新汇集到一点。也就是说，它们有相同的传输时延，有 自聚焦性质。 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/6355cc4a0b89d408197287a5123fedba.gif ，http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/06061afb6975dc6e2350d1d71a46462e.gif http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/818b3040177411c381376c8d6ce4e50a.gif，http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/5caa2858545ef75f3e1b9a60c4dfb0f9.gif 图2-11---- 如果不作近轴光线的近似， 分析过程就会变得比较复杂， 但从射线方程同样可以证 明，当射率分布取双曲正割函数时，所有的子午光线具有完善的自聚焦性质。自聚焦光纤 的折射率分布为： http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/ee412d76a8c05939ca4c6efe65da4b45.gif 式中 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/ede6b8ac44256a440c473e0d37735ee8.gif 。可见平方率分布（抛物线分布）是 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/aab6bd6866d0b8846545b92fdde48031.gif分布忽略高次项的近似。 ---- 以上分析可知，要想子午线聚焦，折射率分布可用 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/fb2fc586510da3e3af13610d908bba31.gif的形式或用 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/aa50a68daa2623d928e9acab4e58a96e.gif的形式。 http://www.chinaoptic.com.cn/d/file/optic_article/5/2006-09-10/dfef8a4ea9455e21badedda09bda9d50.gif的平方率分布（抛物线分布）是目前通行的分布形式。 图2-12显示了渐变型光纤可以实现自聚焦。 图2-12 渐变型光纤可以实现自聚焦
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